三角函数在风控中的应用——循环特征编码与三角回归

2026年6月22日

先验直觉： 1月到12月的数值距离是11，但实际时间距离只有一个月。如果用1-12给月份编码，模型会以为12月"离"1月很远——这在统计学上是错的，而且在风控中可以导致模型学不到真实的季节模式。

关键词： 三角函数，循环编码，特征工程，三角回归，LendingClub，周期性

---

01 一个被忽略的编码问题

做特征工程时，我们经常会遇到循环变量（Cyclic Variable）：

• 月份：12 → 1 不是距离13，是距离1
• 星期：周日 → 周一不是距离7，是距离1
• 小时：23 → 0不是距离24，是距离1

最常见的错误是用 1-12 的整数表示月份。这会让模型学到"12月和1月差异很大"——而实际上它们之间只有31天。

三角函数提供了一个优雅的解决方案：把循环变量映射到单位圆上的角度，用 sin 和 cos 编码。

---

02 为什么数值编码是错的？

做一个 Toy Demo。生成一个简单的 sin 波加噪声，分别用两种方式建模：

• 线性回归直接将连续值 t 作为特征（类似月份=1-12）
• 三角回归用 sin(t) 和 cos(t) 作为特征

结果一目了然：

模型	R²	参数数
线性回归	0.16	2（截距+斜率）
三角回归	0.94	3（截距+sin+cos）

线性模型认为"t 越大，y 越大或越小"——它对周期模式无能为力。三角回归只用了一个额外的参数，就正确捕捉了数据的周期性。

数学直觉很简单：任何一个正弦波 $A\cdot \sin (\omega t+\varphi )$ 都可以展开为：

$$A\cdot \sin (\omega t+\varphi )=\alpha \cdot \sin (\omega t)+\beta \cdot \cos (\omega t)$$

所以用 sin(t) 和 cos(t) 做特征，线性回归就能拟合任意相位和大小的正弦模式。

---

03 三种编码方式对比

对于月份这个循环变量，有三种常见的编码方式：

方式一：数值编码

把月份映射为 1-12 的整数。问题：12和1的欧氏距离是 11，但真实距离是 1。

$$d_{\mathrm{欧}\mathrm{几}\mathrm{里}\mathrm{得}}(12,1)=12-1=11\text{(错误!)}$$

方式二：One-hot 编码

把月份展开为 12 个二元哑变量，模型自由学习每个月的效应。

$$d_{\mathrm{汉}\mathrm{明}}(Jan,Feb)=1\text{(相邻)}$$$$d_{\mathrm{汉}\mathrm{明}}(Jan,Dec)=1\text{(也相邻——对吗？)}$$

One-hot 的问题是：参数多（11 个额外参数），且无法利用"月份之间顺序关系"的信息。

方式三：Sin/Cos 编码

把月份映射到单位圆上：

$$x_{month}=\sin (2\pi \cdot \frac{month}{12}),y_{month}=\cos (2\pi \cdot \frac{month}{12})$$

12月（角度 ${330}^{\circ }$）和1月（角度 ${30}^{\circ }$）的欧氏距离：

$$d_{\mathrm{欧}\mathrm{几}\mathrm{里}\mathrm{得}}(Dec,Jan)=\sqrt{(\sin {330}^{\circ }-\sin {30}^{\circ }{)}^2+(\cos {330}^{\circ }-\cos {30}^{\circ }{)}^2}\approx 0.52$$

这个距离远小于 12 和 1 的数值距离 11，而且和 1 月到 2 月的距离（0.52）完全一致——正确体现了"相邻月份应该等距"这个直觉。

Sin/cos 编码还有一个隐藏优势：只需要 2 维，比 one-hot 的 12 维节省 83% 的参数。

---

04 单位圆的几何直觉

为什么 sin 和 cos 能正确编码循环关系？因为月份在本质上是一个角度变量。

把 12 个月均匀分布在单位圆上，每个月的坐标就是 $(\cos \theta ,\sin \theta )$，其中 $\theta =2\pi \cdot month/12$。

从图中可以直观看到：

• 相邻月份的 sin/cos 坐标是"相邻"的（距离 ≈ 0.52）
• 相隔半年的月份（如1月和7月）在圆上对望（距离 ≈ 2.0）
• 没有一个方向优先——所有月份在二维空间中的分布是均匀的

这正是我们想要的循环距离度量。

---

05 LendingClub 实战：月度违约率

用 LendingClub 220 万笔贷款数据，按放款月份聚合违约率。

在13年中，各月的违约率有一定差异：

月份	样本量	违约率
1月	114,983	18.86%
2月	106,128	18.68%
3月	128,784	19.80%
4月	111,935	20.48%
5月	106,895	20.41%
6月	102,946	20.27%
7月	132,166	20.12%
8月	114,996	19.75%
9月	92,914	19.79%
10月	138,918	18.80%
11月	116,280	19.02%
12月	106,970	19.47%

违约率从 2 月的 18.68% 上升到 4-5 月的 20.4%+，再回落。这是一个明显的季节性信号——但信号很弱（极差仅 1.8pp）。

三角回归拟合的完整计算结果如下：

$$\mathrm{违}\mathrm{约}\mathrm{率}=19.62+0.10\cdot \sin (2\pi m/12)+(-0.75)\cdot \cos (2\pi m/12)$$$$=19.62+0.75\cdot \sin (2\pi m/12-1.44)$$

月份	sin(θ)	cos(θ)	实际违约率	三角拟合	残差
Jan	+0.500	+0.866	18.86%	19.02%	-0.17
Feb	+0.866	+0.500	18.68%	19.33%	-0.65
Mar	+1.000	+0.000	19.80%	19.72%	+0.08
Apr	+0.866	-0.500	20.48%	20.08%	+0.40
May	+0.500	-0.866	20.41%	20.32%	+0.09
Jun	+0.000	-1.000	20.27%	20.37%	-0.09
Jul	-0.500	-0.866	20.12%	20.22%	-0.09
Aug	-0.866	-0.500	19.75%	19.91%	-0.16
Sep	-1.000	+0.000	19.79%	19.52%	+0.27
Oct	-0.866	+0.500	18.80%	19.16%	-0.36
Nov	-0.500	+0.866	19.02%	18.93%	+0.09
Dec	-0.000	+1.000	19.47%	18.87%	+0.59

回归系数的几何意义：振幅 $A=\sqrt{{0.10}^2+{0.75}^2}=0.75$pp 代表季节性波动的幅度；相位 $\varphi =-82.5°$ 表示波谷在 2 月（违约最低点）、波峰在 7 月附近。

如果用三种模型分别拟合这个模式：

模型	R²	参数数
数值月份（线性）	0.003	2
三角回归（sin/cos）	0.734	3
One-hot 12个月	1.000	12

但这里有一个隐藏的问题：上述分析用的是 12 个月聚合数据——把 11 年间的每个 1 月平均成一个点。聚合放大了季节信号，但也丢失了信息。

如果用 139 个月 × 年 的原始数据点直接拟合呢？

模型	参数	R²	MAE
仅季节 sin/cos（月份）	3	0.002	3.74pp
线性年份趋势	2	0.001	3.71pp
年份 sin/cos（经济周期）	3	0.219	2.68pp
年份 sin/cos + 季节 sin/cos	5	0.221	2.68pp

在 139 个点中，仅月份 sin/cos 几乎为零（R²=0.002）。而仅年份 sin/cos 就解释了 22% 的变异。

为什么？因为年份效应远大于季节效应。把年份也视为一个循环变量（经济周期 ≈ 10 年），用 sin/cos 拟合：

$$y=17.44+\underset{\text{年份周期, 6.56pp}}{\underbrace{3.28\cdot \sin (2\pi t/139+\varphi )}}+\underset{\text{月份周期, 0.64pp}}{\underbrace{0.32\cdot \sin (2\pi m/12+\psi )}}$$

年份效应（6.56pp）是季节效应（0.64pp）的 10 倍。2008 年金融危机后违约率飙升、2014 年低谷、2016 年网贷泡沫——这些经济周期波动的幅度远大于"2 月违约低、7 月违约高"的季节模式。

加上月份 sin/cos 后，R² 仅从 0.219 增加到 0.221——ΔR²=0.002。换言之，在这个数据中，季节信号在年份周期面前几乎可以忽略。

但这不意味着季节编码不重要——恰恰相反，正确的编码是捕捉微弱信号的前提。如果直接用数值月份（1-12），连 0.002 都捕捉不到。而且，在其他行业中——电商的 11 月促销、旅游的暑期旺季、零售的圣诞季——季节信号可能强到即使不聚合也清晰可见。

数据量不大时（12个月），dummy 模型可以完美拟合。但三角回归用仅3个参数（截距+sin+cos）就解释了 73% 的变异——参数效率是 dummy 的 4 倍。

数值月份模型几乎是一条水平直线（R²=0）——它完全无法捕捉先升后降的季节模式。而三角回归的 sin/cos 特征正确拟合了"春秋低、夏冬高"的起伏。

---

06 Python 代码

---

07 数学文化：从三角函数到傅里叶级数

三角回归的背后，是数学史上最强大的工具之一——傅里叶级数。

1807年，约瑟夫·傅里叶向巴黎科学院提交了一篇论文，声称任何周期函数都可以分解为正弦和余弦函数的无穷级数：

$$f(t)=a_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[a_k\sin (k\omega t)+b_k\cos (k\omega t)]$$

当时拉格朗日、拉普拉斯都反对——这么"不连续"的函数怎么可能用光滑的正弦波拼出来？但傅里叶是对的。今天，从信号处理、气象预测到金融时间序列，傅里叶变换无处不在。

在风控场景中，我们通常只需要第一个谐波（$k=1$）就能捕捉主要季节模式——就像本文用 $sin(2\pi t/12)$ 和 $cos(2\pi t/12)$ 做的。当季节模式更复杂时（如双峰、非对称），加入 $k=2$、$k=3$ 的谐波即可：

$$f(t)={\beta }_0+{\beta }_1\sin (2\pi t/12)+{\beta }_2\cos (2\pi t/12)+{\beta }_3\sin (4\pi t/12)+{\beta }_4\cos (4\pi t/12)+\dots$$

每个谐波对加 2 个参数，比 one-hot 的逐月编码更省参数，且保留了变量的循环结构。

---

08 关键要点

1. 循环变量不要用数值编码——12月到1月的数值距离是 11，实际距离是 1，模型会学到错误的关系

2. Sin/Cos 编码用 2 维表示循环关系——等价于把变量投影到单位圆上，距离度量正确

3. 三角回归是 sin/cos 编码的自然延伸——把 $sin(\theta )$ 和 $cos(\theta )$ 作为回归特征，用 3 个参数（含截距）就可拟合任意相位和大小的正弦模式

4. LendingClub 实战：数值月份 R²≈0，三角回归 R²=0.73——参数效率是 one-hot 的 4 倍

5. 适用场景：月份、星期、小时等循环时间特征；空间角度；风向；任何有周期性的变量

6. 局限：sin/cos 编码假设循环关系是对称的。对于不对称的季节模式（如电商11月、12月高峰），需要引入高阶谐波或额外特征

7. 和傅里叶级数的关系：三角回归的本质是傅里叶一级近似——只用基频谐波拟合周期信号。需要更复杂模式时可叠加高阶谐波

8. 在风控中的价值：虽然 LendingClub 月份信号弱（极差 1.8pp），但在消费信贷中，节假日效应、年终效应、季度性流动资金变化都是真实存在的季节信号——正确编码是模型捕捉这些信号的前提

---

参考文献

1. Fisher, N. I. (1993). Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge University Press — 循环数据统计分析的经典教材，系统论述sin/cos编码的理论基础
2. Mardia, K. V., & Jupp, P. E. (2000). Directional Statistics. Wiley — 方向统计学的权威参考，包含循环变量的回归模型
3. Bloomfield, P. (2000). Fourier Analysis of Time Series: An Introduction (2nd ed.). Wiley — 傅里叶级数在时间序列分析中的应用，三角回归的进阶阅读
4. Harvey, A. C. (1990). Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press — 包含三角回归在季节调整中的经典应用