违约时间才是真信号——Cox 生存分析与竞争风险

本文为 AI 辅助创作，数据实测与结论推导由作者完成。

关键词：Cox 比例风险模型，生存分析，风险比 HR，竞争风险，Aalen-Johansen

风控部评审两个模型。模型 A：AUC 0.70，输出"这笔贷款会不会违约"。模型 B：同样 AUC 0.70，但它多回答一个问题——如果违约，大约什么时候？

从"会不会"到"什么时候"，区别有多大？想象两笔都违约的贷款：一笔在发放后 3 个月违约（本金几乎没回收），一笔在 30 个月后违约（大部分已经还了）。前者损失可能接近本金，后者损失可能只有零头。只看会不会违约，这两笔是一样的；看什么时候违约，它们天差地别。

生存分析（Survival Analysis）就是回答"什么时候"的建模框架。上一篇用 Vintage 表看了违约怎么随账龄暴露（描述层），这篇进入模型层：Cox 比例风险模型告诉你什么特征在加速违约（风险比 HR），Aalen-Johansen 累计发生率函数告诉你竞争风险下真实的违约概率（提前还清会干扰估计）。

从"会不会"到"什么时候"：为什么时点重要

违约损失不是"违约就全额损失"。一笔贷款的生命周期里，钱是逐月收回的。设违约发生在发放后 $T$ 个月，已回收本金比例大致随 $T$ 增加：

EL = PD \cdot LGD (T) \cdot EAD

其中 $LGD (T)$ （违约损失率）随违约时点 $T$ 减小——违约越晚，回收越多，损失越小。所以同样 PD 的两笔贷款，早违约的期望损失可能是晚违约的数倍。这是生存分析在风控里的价值锚点：PD 告诉你赔不赔，生存模型告诉你赔多少。

Cox 比例风险模型：风险怎么随特征缩放

模型设定

设违约时间 $T$ ，特征向量 $x$ 。风险函数（某时刻的瞬时违约强度）：

h (t ∣ x) = h_{0} (t) \cdot \exp (β^{⊤} x)

$h_{0} (t)$ 是基线风险（所有特征取 0 时的风险，只随账龄变）
$\exp (β^{⊤} x)$ 是特征乘数——特征每变化一单位，风险乘以 $\exp (β_{j})$

这就是"比例风险"：任何两个客户的风险函数之比 $\frac{h (t | x_{1})}{h (t | x_{2})} = \exp (β^{⊤} (x_{1} - x_{2}))$ 是常数（不随时间变）——特征只缩放风险，不改变风险的形状。

偏似然：不需要基线风险也能估 β

Cox 的关键洞察：估计 $β$ 不需要知道 $h_{0} (t)$ 。对每个违约事件（发生在时刻 $t_{i}$ 、客户 $i$ ），在当时的风险集 $R (t_{i})$ （还没违约、还在观察的客户）里，谁最可能违约：

L (β) = \prod_{i \in D} \frac{\exp (β^{⊤} x_{i})}{\sum_{j \in R (t_{i})} \exp (β^{⊤} x_{j})}

其中 $D$ 是违约事件集， $R (t_{i})$ 是时刻 $t_{i}$ 的风险集。这是偏似然（partial likelihood）：每项只在风险集内比较，基线风险被约掉了。最大化它得到 $\hat{β}$ ，大样本下渐近正态、一致——和 MLE 一样的优良性质。

风险比 HR：不是概率，是乘数

$\exp (β_{j})$ 叫风险比（Hazard Ratio, HR）：

$HR > 1$ ：特征值越大，违约风险越高（加速违约）
$HR < 1$ ：特征值越大，违约风险越低（延缓违约）
HR 是乘法效应，不是加法——fico 每 +1 个标准差 HR=0.69，表示风险乘以 0.69（降 31%）；两个标准差就是 ${0.69}^{2} \approx 0.48$

实测：什么特征在加速违约

LendingClub 2,257,159 笔（违约 26.9 万，11.92%），特征标准化后 Cox 回归，HR=每 +1 标准差的风险比：

特征	HR	95% CI	解读
fico	0.690	[0.682, 0.698]	信用分 +1SD → 违约风险降 31%（强保护）
annual_inc	0.707	[0.691, 0.725]	收入 +1SD → 风险降 29%
open_acc	1.080	[1.071, 1.089]	账户数 +1SD → 风险升 8%（多头借贷信号）
dti	1.048	[1.044, 1.052]	负债率 +1SD → 风险升 5%
delinq_2yrs	0.979	[0.972, 0.987]	逾期次数 +1SD → 风险略降（反直觉）
revol_util	0.991	[0.981, 1.000]	循环利用率：条件效应接近中性

两个发现：

第一，fico 和收入是主导保护因素（HR 0.69/0.71），账户数和负债率是风险因素（HR 1.08/1.05）——和业务直觉一致，但 Cox 给出的是控制了其他特征后的净效应（偏效应），比单变量相关性可靠。

第二，delinq_2yrs 的 HR=0.979 是反直觉点：逾期次数越多，风险反而略降？这不是"逾期无害"，而是边际效应 ≠ 条件效应（承接 #108 的核心结论）——条件于 fico、dti 等特征后，逾期次数携带的增量信息很小，甚至方向反转（高逾期客户往往同时被其他高风险特征标记，那些特征已经把风险解释了；delinq 剩下的边际信号里，可能有"逾期后修复"的客户群）。单变量看 delinq 一定推高风险，多变量偏效应可能翻转——这正是 Cox 相比"看相关性"的价值。

Cox 还能直接预测生存曲线（给定特征，逐月未违约概率）：

fico 620 的客户 24 个月未违约率约 82%，fico 740 约 94%——比例风险假设下，不同特征的曲线平行（log 尺度），形状相同、水平不同。

竞争风险：提前还清是竞争对手

生存分析有个隐蔽的坑：贷款只有两种结局——违约，或还清。还清（Fully Paid）不是"没违约"，它是违约的竞争事件（competing risk）：一笔贷款还清了，就永远不可能再违约。

上一篇的 KM 生存曲线把还清当删失（censoring）——意思是"还没观察到违约，可能未来违约"。这在"还清"上语义错了：还清意味着"确定不违约了"，跟"未来可能违约"是两回事。把确定不违约的当"可能违约"处理，会高估违约率——KM 的乘积里，还清客户退出分母但不退出"未违约"的计数逻辑，导致生存率被低估、违约率被高估。

正确处理用累计发生率函数（Cumulative Incidence Function, CIF），Aalen-Johansen 估计：

{CIF}_{j} (t) = \sum_{s \leq t} S (s -) \cdot λ_{j} (s)

其中 $S (s -) = 1 - {CIF}_{1} (s -) - {CIF}_{2} (s -)$ 是"活到 $s$ 之前未发生任何结局"的概率， $λ_{j} (s) = \frac{d_{j} (s)}{n (s)}$ 是结局 $j$ 的瞬时发生率（ $d_{j} (s)$ 为时刻 $s$ 发生结局 $j$ 的笔数， $n (s)$ 为风险集）。直观说：CIF 把"还在场"的概率 S(s-) 分摊到每个竞争结局上——违约拿走一份，还清拿走一份，剩下的才是"仍存活"。

实现就是逐月递推：

python

def aalen_johansen(d, max_t=48):
    """CIF_j(t) = Σ_{s≤t} S(s-)·λ_j(s); 事件1=违约, 事件2=还清, 0=删失"""
    T_ev = d.loc[d["cause"] > 0, "T_c"].values
    T_cs = d.loc[d["cause"] == 0, "T_c"].values
    cif1 = np.zeros(max_t + 1); cif2 = np.zeros(max_t + 1)
    S = np.ones(max_t + 1)
    for t in range(1, max_t + 1):
        n_risk = (T_ev >= t).sum() + (T_cs >= t).sum()
        d1 = ((d["cause"] == 1) & (d["T_c"] >= t) & (d["T_c"] < t + 1)).sum()
        d2 = ((d["cause"] == 2) & (d["T_c"] >= t) & (d["T_c"] < t + 1)).sum()
        cif1[t] = cif1[t-1] + S[t-1] * d1 / n_risk
        cif2[t] = cif2[t-1] + S[t-1] * d2 / n_risk
        S[t] = 1 - cif1[t] - cif2[t]
    return cif1, cif2, S

实测：KM 高估了多少

LendingClub 全样本（违约 11.92%，还清 47.7%），对比 KM（还清当删失）和 CIF（还清当竞争事件）：

账龄	KM 违约率	CIF 违约率	KM 高估
24 月	12.4%	11.9%	+0.5pp
36 月	16.3%	15.1%	+1.2pp

KM 高估随账龄扩大（36 月高估 1.2pp）——因为越往后，还清客户越多，被 KM 误当"删失"的竞争事件越多。1-2pp 看着不大，但用在拨备计提上就是实打实的钱：如果按 KM 的 16.3% 提拨备，而真实竞争风险违约率是 15.1%，每年多提的拨备对应着被高估的预期损失。

竞争风险全景图更直观——贷款结局随账龄的演化：

36 个月后，约 40% 的贷款已还清、15% 已违约、45% 仍在观察——提前还清是这个组合里最大的"竞争对手"，忽略它，所有单结局分析都会系统性偏差。

结论：三层才是完整的违约风险图景

把 #110 和本篇串起来：

Vintage 表（描述层）：违约怎么随账龄暴露，账龄对齐才能跨批比较； Cox 模型（模型层）：什么特征在加速违约——fico/收入是保护因素（HR 0.69/0.71），账户数/负债率是风险因素（HR 1.08/1.05），条件效应会翻转直觉（delinq HR 0.98）； 竞争风险 CIF（严谨层）：提前还清是竞争事件，KM 把还清当删失会高估违约率（36 月高估 1.2pp），拨备计提应该用 CIF。

AUC 告诉你"会不会"，Cox 告诉你"什么时候"，CIF 告诉你"在竞争下的真实概率"——三层叠起来，才是完整的违约风险图景。风控模型评审的时候，别只看 AUC 了。

边界声明：以上数字在 LendingClub 2,257,159 笔样本（剔除缺失）上测得；违约时点用最后还款日近似（偏早约 4 个月）；Cox 假设比例风险（特征效应不随时间变）与线性 log 风险，实际数据可能轻微违反；竞争风险分析中"还清"用 Fully Paid 近似（含到期还清与提前还清）。不同数据下具体数值会变，但"时点影响损失、特征有净效应、竞争风险会高估单结局估计"三个规律不变。

关键要点：违约时点决定损失（EL 的 LGD 依赖 T）；Cox 用偏似然估 HR（fico 0.69/annual_inc 0.71 保护，open_acc 1.08/dti 1.05 风险）；条件效应≠边际效应（delinq 翻转）；竞争风险下 KM 高估违约率（36 月 +1.2pp），用 Aalen-Johansen CIF。

代码与数据：本文所有代码可复现，数据来自 LendingClub 公开数据集（2007-2018Q4）。完整脚本留档在文章同目录 gen_figures.py。

违约时间才是真信号——Cox 生存分析与竞争风险 ​

从"会不会"到"什么时候"：为什么时点重要 ​

Cox 比例风险模型：风险怎么随特征缩放 ​

模型设定 ​

偏似然：不需要基线风险也能估 β ​

风险比 HR：不是概率，是乘数 ​

实测：什么特征在加速违约 ​

竞争风险：提前还清是竞争对手 ​

实测：KM 高估了多少 ​

结论：三层才是完整的违约风险图景 ​

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