QIAN数据:一个期望值∞的游戏，为什么没人愿意出超过20块

先验直觉： 有一个公平的游戏——抛硬币直到正面出现，第n轮出现则赢2ⁿ元。这个游戏的期望值是无穷大。理论上你应该倾家荡产也要玩。但现实中，大多数人只愿意付2-4块钱入场。不是他们傻——是他们的直觉比无穷大更聪明。

2026年7月1日 · 预计阅读 15 分钟

关键词： 圣彼得堡悖论，期望值，预期效用理论，风险厌恶，前景理论，边际效用递减

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01 一个期望值无穷大的游戏

1738年，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在圣彼得堡科学院发表了一篇论文，提出了一个困扰数学家两百多年的问题。

游戏规则极其简单：

• 你抛一枚公平硬币
• 如果第一次就是正面，游戏结束，你赢 2元
• 如果第一次反面、第二次正面，你赢 4元（第二轮）
• 如果前两次反面、第三次正面，你赢 8元（第三轮）
• ...
• 如果前n-1次反面、第n次正面，你赢 2ⁿ元

现在问你：你愿意付多少钱来玩一次这个游戏？

大多数人回答：2-4元。最乐观的人也不会超过20元。

但数学告诉我们：这个游戏的期望值是无穷大。

$$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(\text{第n轮正面})\times {\text{奖金}}_n$$

第一次正面概率 = 1/2，奖金2元 → 贡献 1/2 × 2 = 1 第二次正面概率 = 1/4，奖金4元 → 贡献 1/4 × 4 = 1 第三次正面概率 = 1/8，奖金8元 → 贡献 1/8 × 8 = 1 ...

每一轮对期望值的贡献都是1。 有无限轮，期望值 = 1+1+1+... = ∞。

这就是圣彼得堡悖论的核心： 一个数学上期望值为无穷大的赌博，现实中没人愿意花大价钱玩。

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02 无限期望与现实之间的鸿沟

问题出在哪？

如果你真的去玩这个游戏，绝大部分时候你会输钱，只有极少数时候会获得巨额奖金，从而拉高平均值。

我们用代码模拟了100,000次游戏：

模拟100000次圣彼得堡游戏:
赢到2元（第一轮正面）: 49982次 (49.98%)
赢到4元（第二轮正面）: 25035次 (25.04%)
赢到8元（第三轮正面）: 12499次 (12.50%)
赢到16元（第四轮正面）: 6246次 (6.25%)
赢到32元（第五轮正面）: 3120次 (3.12%)
赢到64元（第六轮正面）: 1581次 (1.58%)
赢到128元（第七轮正面）: 753次 (0.75%)
赢到256元及以上: 784次 (0.78%)
平均收益: 47.83元 | 中位数收益: 4.00元
只有14.7%的游戏收益超过8元

数据揭示了反直觉的真相：

• 50%的概率你只拿回2元（第一轮就正面）
• 中位数收益仅4元——你有一半的概率收入不超过4元
• 平均收益≈48元——但这是被极少数"幸运儿"拉高的
• 只有 0.78%的概率 你拿到256元以上的奖金
• 但恰恰是这0.78%的概率，贡献了期望值的绝大部分

想象一下：你花了100块入场费，玩100次。你可能99次都在亏钱，但第100次连续10次反面，赢了1024元——拉平了所有亏损，甚至还有得赚。

问题是：你扛得住99次亏损吗？

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03 伯努利的解法：不是钱本身，是钱带来的满足感

丹尼尔·伯努利提出了一个天才的解法：人们关心的不是钱本身，而是钱带来的效用。

一元钱对乞丐和亿万富翁的价值完全不同。这就是边际效用递减：

财富从10元增加到20元，带来的满足感远大于从1000元增加到1010元。

伯努利用对数函数来描述这一直觉：

$$U(x)=\ln (x)$$

在这个框架下，圣彼得堡游戏的"期望效用"不再是无穷大：

$$E[U]=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\times \ln (2^n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n\cdot \ln 2}{2^n}\approx 1.39$$

这是一个有限的数值。设初始财富W=100，求解公平入场费p：

$$\ln (100-p)=1.39$$$$100-p=e^{1.39}\approx 4.01$$$$p\approx 95.99\text{元}$$

等一下——按对数效用算出来，也愿意付96元？这与现实中2-4元的直觉还是对不上。

问题在于：伯努利用的效用函数还不够"真实"。

更合理的效用函数（CRRA，Constant Relative Risk Aversion）给出更低的入场费：

$$U(x)=\frac{x^{1-\gamma }-1}{1-\gamma },\gamma >0$$

• γ=0.5（低风险厌恶）：愿付约21元
• γ=1.0（对数效用）：愿付约7元
• γ=2.0（中等风险厌恶）：愿付约4元
• γ=4.0（高度风险厌恶）：愿付约2元

γ越大，你越在意极端小概率损失——这正是风控的底色。

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04 无限轮 vs 有限轮：现实中的圣彼得堡

现实中有两个因素打破了"期望值无穷大"：

第一，庄家不会无限支付。

没有任何庄家有能力支付2¹⁰⁰元——这比宇宙中的原子数量还多。现实中赌场会设上限。一旦设上限，期望值就变成了有限值。

如果庄家最多玩20轮（最高奖金≈100万）：

• 期望值 = 20元
• 这是合理的入场费

如果庄家最多玩10轮（最高奖金1024元）：

• 期望值 = 10元
• 大多数人不愿付超过5元

第二，人类的"折现"机制。

我们天生对极低概率的巨额收益不敏感。卡尼曼和特沃斯基的前景理论（Prospect Theory）发现：人们系统性高估小概率、低估中大概率。

概率权重函数：

$$w(p)=\frac{p^{\delta }}{(p^{\delta }+(1-p{)}^{\delta }{)}^{1/\delta }},\delta \approx 0.65$$

• 1%的概率 → 被感知为约3%
• 10%的概率 → 被感知为约15%
• 50%的概率 → 被感知为约39%

但反过来：

• 0.1%的概率（对应第10轮正面）→ 被感知为约0.5%
• 0.001%的概率（对应第17轮正面）→ 被感知为约0.01%

极低概率被高估了，但还不够高到让你愿意付大价钱。 而小奖金（2元、4元）的边际效用又太低了。

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05 圣彼得堡悖论在风控中的投影

圣彼得堡悖论不只是数学家的玩具。它在风控中有一个直接的投影。

场景：为什么预期为正的策略，业务方不敢做？

假设有一个策略，每次决策的预期收益为正（+1元/笔），但有4%的概率单笔亏损-25元。模拟1000笔：

预期为正(+1/轮)的策略模拟(1000笔×100条路径):
平均终局资金: 1426.7元（起始100元）
正收益路径: 88条 (88%)
破产路径: 12条 (12%)

12%的破产概率。 这就是风控版的圣彼得堡悖论。

你的模型说"预期收益为正，干吧"。但风控负责人说"不行，可能破产"。

谁对了？

都对。模型说的是"平均"，风控说的是"尾部"。这就是圣彼得堡悖论的核心张力：期望值给出了正确的长期指引，但现实决策被短期生存约束绑架了。

就像圣彼得堡游戏一样：

• 无限次重复 → 你可以承受极小概率的巨额亏损
• 有限资本 → 你活不到"无限次"的那一刻

这个原理在风控中无处不在：

场景	"期望值"视角	"圣彼得堡"视角
信贷审批	评分卡说预期损失<利率	但一笔大额坏账吃掉一年利润
策略调优	新规则预期提高通过率2%	但可能在一个客群上翻车
模型迭代	AUC涨了0.02	但如果新模型在尾部失效...
反欺诈规则	拦截率提高5pp	但误伤一个优质客户流失
资金运营	这个产品预期ROI=8%	但黑天鹅来了呢？

关键要点： 你不是在反"期望值为负"的策略，是在反"让你破产的策略"。

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06 数学文化：从伯努利到卡尼曼的300年

圣彼得堡悖论的历史，就是一部"人类如何理解风险"的进化史。

1700年代 — 期望值时代

帕斯卡和费马（1654）创立概率论时，默认的决策规则是"选择期望值最大的选项"。没有考虑风险，没有考虑个人偏好。

1738 — 伯努利的突破

丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院的论文《风险测量的新理论》中提出了预期效用假说：人们最大化的是效用的期望值，而不是金钱的期望值。对数效用函数U(x)=ln(x)将圣彼得堡悖论的期望值从∞降到了有限。

但他的天才之处被遗忘了近200年。

1944 — 冯·诺伊曼的公理化

冯·诺伊曼和摩根斯坦在《博弈论与经济行为》中为预期效用理论提供了严格的公理基础。至此，预期效用理论成为经济学和决策理论的基石。

1979 — 卡尼曼和特沃斯基的革命

但预期效用理论无法解释一个事实：人们在面对收益时风险厌恶、面对损失时风险偏好——所谓展望理论（Prospect Theory）。

卡尼曼和特沃斯基的两个关键发现：

1. 损失厌恶：损失1元的痛苦 > 赚1元的快乐（约2.25倍）
2. 概率权重扭曲：人们对概率的感知不是线性的

这两条加起来，完美解释了为什么没人愿意花超过20块玩圣彼得堡游戏——你不仅对高额奖金打了折扣，还对小额损失额外敏感。

2020年代 — 行为风控

今天，先进的风控系统不再假设借款人"理性最大化期望值"。它们用行为经济学模型捕捉：

• 债务厌恶：为什么提前还款不代表信用好
• 现在偏见：为什么高息日贷仍然有人借
• 参照点依赖：为什么"利率涨了0.5%"比"绝对利率6.5%"更有冲击力

300年前圣彼得堡一个游戏提出的问题，今天仍然是风控的核心课题：期望值、风险承受力、和非理性行为之间的三角博弈。

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07 关键要点

1. 圣彼得堡悖论证明了"期望值最大化"作为决策准则的缺陷——无穷大的期望值不等于无限的支付意愿
2. 中位数收益比均值更能反映"大多数人的体验"——100,000次模拟中，中位数4元vs均值48元，差距12倍
3. 边际效用递减是破解悖论的第一把钥匙——100元到200元的快乐不如10元到20元
4. 风险厌恶参数γ直接决定定价——γ=0.5时愿付21元，γ=4.0时只愿付2元，风控的本质就是高γ
5. 圣彼得堡悖论的现实投影：预期为正≠不会破产——模拟中12%的路径在"预期为正"的策略下仍然破产
6. 前景理论的概率权重扭曲补充了效用理论的不足——人们高估小概率、低估中大概率，这解释了为什么彩票和保险同时存在
7. 有限资本约束是"期望值∞"不能落地的根本原因——你活不到庄家开出一个天文数字的那一轮
8. 300年从伯努利到卡尼曼的跨越，本质上是"从完美理性到有限理性"的认知升级——风控模型也在走同样的路

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